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建构数的表象 丰富数的内涵

       摘 要:建立数的表象,是帮助学生深刻认识数的内涵的重要桥梁。只有对数的表征认识清楚、到位,才能在具体、直观的基础之上逐步抽象,最终真正建立起数的概念,理解数的意义。文中,笔者从整数、小数和分数三种数的认识出发,分别阐述如何帮助学生建立数的表象,从而丰富数的内涵。 

  关键词:表象;数的内涵;推算感知;形中蕴数;逐步抽象
表象是一种心理现象,人们感知过的某一事物,其形象常常会在头脑中以痕迹的现象保留下来,以后这种事物虽未出现,但在一定条件影响下,它的形象仍会在头脑中再现,这就是表象。只有经历过直观的、生动的表象积累,才能深刻地、丰富地认识数的内涵。
一、推算感知,建立大数的表象
在整数的认识中,对于比较小的数,学生可以借助于实物如小棒、方块、计数器等来建立表象;对于以千、万计数的稍大的整数,也可以通过整体感知来建立表象,比如:把一千根吸管扎成一捆有多粗、一千粒黄豆装在玻璃瓶里有多少等,让学生从整体来感知这个数的多少。但对于更大的数,比如几百万、几千万甚至几亿等,由于数量庞大,看不到又摸不着,学生对其表象的建立尤为困难。
推算,可以很好地帮助学生建立对大数量的表象。所谓推算,简单地说,就是“以小博大”,通过小数不断地推算出大数来。
比如,学生认识了计数单位“亿”后,教材中出示了这样的推算问题(如图1)。“1枚硬币”,这是学生可以在手上掂一掂的具体的物体,看得到、摸得着,很形象。但是1000枚、100万枚、1亿枚硬币是一个怎样的概念呢?这里,将硬币的数量和相对应的重量结合,让学生通过对具体重量的感知,来感受其数量之大。
除了和重量相结合,还可以巧妙地和时间、长度、面积等建立联系,通过具体量的推算,来帮助学生建立数的表象。
比如像这样的天文数字:地球赤道6378137米、地球到月球的平均距离384400000米等,这些数学生只知道很大,但到底有多大,学生却很茫然。在下面这个教学片段中,这位老师巧妙地通过绘本《壶中的故事》引出一个天文数字,再将这个天文数字进行一定方式的推算,帮助学生很好地建立了大数的表象。首先,绘本讲述了这样一个美丽的故事:“翻开这本书,一只美丽的壶呈现在眼前。壶中有一座岛,岛上有两个国家,两个国家各有三座山,三座山上各有四个城堡,四个城堡里各有五个村庄,五个村庄里各有六栋房子,六栋房子里各有七间房间,七间房间里各有八个柜子,八个柜子里各有九只箱子,九只箱子里各有10个壶。”到底有多少个壶呢?学生一步一步地算下来,竟然得到了一个很大的数:1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800(个)。“3628800”这个数有多大呢?接下来,进行了这样一系列的推算:(1)假如一个壶的宽是1分米,3628800个壶排成一排,有多长呢?有360多千米。如果一辆小汽车在高速公路上每小时行120千米,那么就要行驶3小时。(2)如果1秒钟打开一个壶盖,那么打开所有的壶盖,会花费多长时间?要1000多个小时,40多天。也就是说,揭壶盖的人不吃不喝,也不休息,持续不停地开,也要花一个月以上的时间。通过这样的推算,与现实生活中的时间、路程相结合,学生被震撼了,真真切切地感受到诸如此类天文数字之巨大。
二、形中蕴数,体会小数的结构
小数是十进制分数的一种特殊表现形式。如何帮助学生建立0.1,0.01, 0.001这些小数的计数单位的表象?教材选用的是正方形,最后一个是正方体(如图2)。
教材呈现的图中,将一个正方形平均分成十份,其中的一份就是十分之一,也就是0.1;同样,将一个正方形平均分成一百份,其中的一份就是百分之一,也就是0.01;将一个正方体平均分成一千份,其中的一份就是千分之一,也就是0.001。这里,将小数蕴藏在图形里,用直观的图形来表征小数的意义。
还可以将方格图、方块图和数轴相结合,引导学生从直观到半抽象再到抽象,逐步建立小数的表象。
如图3,将正方体、数轴和小数一一对应,将一个正方体平均分成一百份,其中的一份对应数轴中的“0.01”,其中的两份对应着数轴中的“0.02”,同样,其中的11份对应着数轴中的“0.11”等。這里,给予小数以生动、直观、丰富的表象支撑,在不同的表征形象中,让学生感悟,不管是一个图形,还是一条线段,只要平均分成一百份,其中的一份或几份就是零点零一或零点零几,从而帮助学生丰富小数的内涵。
此外,借助在数轴中找数,还可以帮助学生感受小数的稠密性。比如,在3.14和3.15之间找3.141,学生发现需将其再平均分成十份,取其中的一份,和3.14合起来就是3.141;接着,在3.141和3.142之间找3.1415,同样,将这一部分再平均分成十份,取其中的五份,和3.141合起来就是3.1415;继续这样平均分下去,源源不断,会找出更多的小数。随着平均分的份数越来越多,不可能在图中继续分下去,但在学生的脑海中会不断地涌现,学生从中不但能构建计数单位越来越小的小数,同时深深体会到小数的稠密性。
三、逐步抽象,构建分数的意义
学生对分数意义的构建是逐步推进的,在小学阶段,分成三个阶段来认识分数。第一个阶段在三年级上学期,这时研究的对象是一个物体、一个图形。把一个物体平均分成若干份,表示其中一份或几份的数就是分数。第二个阶段在三年级下学期,这个阶段出现了计量单位和许多物体组成的一个整体。而到了五年级下学期,学生认知的关键则是建立分数的意义。在这个阶段,学生要认识到分数和自然数、小数一样,它是一个数,它本是具有无量纲性的,这与被平均分的对象是没有关系的。在学生的经验里面可能会认为,三分之二的苹果和五分之二的梨是没有办法比较大小的,但是如果建立了无量纲性的概念,学生应该可以体会到,比较三分之二和五分之二的大小,跟它所对应的那个具体的物体是没有关系的,只要直接看三分之二和五分之二本身的意义就可以了。所以,这时的教学重点就应是帮助学生实现从有量纲性向无量纲性的转变。
在下面这个教学片段中,教师通过从具体的实物抽象出有量纲性的分数,再通过对分数外延的理解、扩充,逐步将分数过渡到无量纲性。
 
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